Распределение нагрузки в резьбовых соединениях оболочек

В конструкциях машин распространены соединения тонкостенных деталей с помощью резьбы (соединения труб, головки и блока цилиндра поршневого двигателя и др.). В этом случае при расчете распределения нагрузки между витками резьбы соединяемые детали схематизируют в форме оболочек.

Рассмотрим приближенное решение задачи о распределении нагрузки по виткам резьбового соединения тонкостенных труб (рис. 1) на основе теории оболочек.

Условие совместности деформаций имеет обычный вид, т. е.

где Δ₁ и Δ₂ — перемещения в сечении z точек внутренней оболочки от растяжения и наружной оболочки от сжатия; δ₁(z) и δ₁(0) — перемещение точки контакта витков резьбы внутренней оболочки в осевом направлении (в сечении z и z = 0); δ₂(z) и δ₂(0) — то же для витков наружной оболочки.

Как и прежде, предполагаем, что нагрузка на боковую грань витка распределена равномерно.

Силы и момент в основании витка, отнесенные к единице длины окружности радиусом r₁,

При выводе последнего равенства предполагаем, что равнодействующая сил давления приложена в середине зоны контакта и что на боковой поверхности радиусом r₁ действуют распределенные нагрузки и момент:

где χ_z, χ_n, χ_m - безразмерные коэффициенты:

Осевая сила, отнесенная к единице длины соединения,

где f = 2 π (r - 0,5 h_p) h_p — площадь проекции контактной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси.

Рассмотрим вначале прогиб витков внутренней оболочки:

Величина δ₁₁ соответствует прогибу витка (точки А на рис. 1) относительно основания (точки О₁).

Учитывая плоское деформированное состояние, можно записать

где E₁ и ν₁ — модуль упругости и коэффициент Пуассона; Ω — безразмерный коэффициент.

Величина δ₁₂ (z) выражает прогиб в результате поворота основания витка:

где ω₁ — прогиб оболочки в сечении z (положительное направление прогиба — вдоль радиуса от центра).

Составляющая δ₁₃ (z) учитывает увеличение зазора между витками в результате прогиба оболочки:

При определении прогибов оболочки учитываем влияние только основного силового фактора — нормального давления.

Тогда в соответствии с (рис. 2)

где K_n1(z, ξ) — прогиб внутренней оболочки в сечении z, обусловленный действием единичной нормальной силы в сечении ξ.

При вычислении углов поворота дополнительно учитываем влияние распределенных моментов:

где K′_m1(z, ξ) — угол поворота в сечении z от единичного момента в сечении ξ.

Суммируя все составляющие в равенстве, находим

где

Приближенно можно считать коэффициенты χ_z, χ_n и χ_m одинаковыми для обеих оболочек, полагая r₁ равным среднему радиусу резьбы.

Напрвление силовых факторов показано на (рис. 3). Отметим, что моменты m₁ и m₂ направлены одинаково.

Увеличение зазора в резьбе в результате прогиба наружной оболочки

Суммарный прогиб витков представим в таком виде:

где

Удлинение внутренней оболочки находим по формуле

где σ_z1 и σ_θ1 - осевое и окружное напряжения в срединной поверхности оболочки

где r₁₀ и h₁ - срединный радиус и толщина оболочки.

Окружное напряжение

С учетом последних соотношений

Для наружной оболочки подобным образом находим

Интегральное уравнение относительно неизвестного давления боковой поверхности витков:

где постоянные

Проинтегрировав уравнения в пределах от 0 до L, определив из полученного равенства величину С и внеся ее в уравнение, получаем интегральное уравнение в окончательной форме

где интегральный оператор

и среднее давление