Распределение нагрузки в резьбовых соединениях оболочек
В конструкциях машин распространены соединения тонкостенных деталей с помощью резьбы (соединения труб, головки и блока цилиндра поршневого двигателя и др.). В этом случае при расчете распределения нагрузки между витками резьбы соединяемые детали схематизируют в форме оболочек.
Рассмотрим приближенное решение задачи о распределении нагрузки по виткам резьбового соединения тонкостенных труб (рис. 1) на основе теории оболочек.

Условие совместности деформаций имеет обычный вид, т. е.
![Delta_1 (z) - Delta_2 (z) = delim{[}{delta_1 (z) + Delta_2 (z)}{]} - delim{[}{delta_1 (0) + Delta_2 (0)}{]} Delta_1 (z) - Delta_2 (z) = delim{[}{delta_1 (z) + Delta_2 (z)}{]} - delim{[}{delta_1 (0) + Delta_2 (0)}{]}](../img/math_971.5_27facbb7a3cbe611226361ec5f18daf4.png)
где Δ1 и Δ2 — перемещения в сечении z точек внутренней оболочки от растяжения и наружной оболочки от сжатия; δ1(z) и δ1(0) — перемещение точки контакта витков резьбы внутренней оболочки в осевом направлении (в сечении z и z = 0); δ2(z) и δ2(0) — то же для витков наружной оболочки.
Как и прежде, предполагаем, что нагрузка на боковую грань витка распределена равномерно.
Силы и момент в основании витка, отнесенные к единице длины окружности радиусом r1,


![M_B = {p (r - 0,5 h_p) h_p delim{[}{h_B - 0,5 h_p - (e + 0,5 h_p tg gamma) tg gamma}{]}}/r_1 M_B = {p (r - 0,5 h_p) h_p delim{[}{h_B - 0,5 h_p - (e + 0,5 h_p tg gamma) tg gamma}{]}}/r_1](../img/math_964_9ac4f9e771b717c8178db4f37875c080.png)
При выводе последнего равенства предполагаем, что равнодействующая сил давления приложена в середине зоны контакта и что на боковой поверхности радиусом r1 действуют распределенные нагрузки и момент:

где χz, χn, χm - безразмерные коэффициенты:

![chi_m = {(r - 0,5 h_p) h_p delim{[}{h_B - 0,5 h_p - (e + 0,5 h_p tg gamma) tg gamma}{]}}/{P r_1 h_B} chi_m = {(r - 0,5 h_p) h_p delim{[}{h_B - 0,5 h_p - (e + 0,5 h_p tg gamma) tg gamma}{]}}/{P r_1 h_B}](../img/math_964_95b8ecc5f4a4c1f13ec21619cfb61c0b.png)
Осевая сила, отнесенная к единице длины соединения,

где f = 2 π (r - 0,5 hp) hp — площадь проекции контактной поверхности на плоскость, перпендикулярную оси.
Рассмотрим вначале прогиб витков внутренней оболочки:

Величина δ11 соответствует прогибу витка (точки А на рис. 1) относительно основания (точки О1).
Учитывая плоское деформированное состояние, можно записать

где E1 и ν1 — модуль упругости и коэффициент Пуассона; Ω — безразмерный коэффициент.
Величина δ12 (z) выражает прогиб в результате поворота основания витка:

где ω1 — прогиб оболочки в сечении z (положительное направление прогиба — вдоль радиуса от центра).
Составляющая δ13 (z) учитывает увеличение зазора между витками в результате прогиба оболочки:

При определении прогибов оболочки учитываем влияние только основного силового фактора — нормального давления.
Тогда в соответствии с (рис. 2)


где Kn1(z, ξ) — прогиб внутренней оболочки в сечении z, обусловленный действием единичной нормальной силы в сечении ξ.
При вычислении углов поворота дополнительно учитываем влияние распределенных моментов:
![{d omega_1 (z)}/{d z} = int{0}{L}{delim{[}{{partial K_{n1}}/{partial z} (z, xi) chi_n + {partial {K prime}_{m1}}/{partial z} (z, xi) chi_m h_B}{]} p (xi) d xi} , {d omega_1 (z)}/{d z} = int{0}{L}{delim{[}{{partial K_{n1}}/{partial z} (z, xi) chi_n + {partial {K prime}_{m1}}/{partial z} (z, xi) chi_m h_B}{]} p (xi) d xi} ,](../img/math_932_750b3b01053b7176b42094bbeb8336dc.png)
где K′m1(z, ξ) — угол поворота в сечении z от единичного момента в сечении ξ.
Суммируя все составляющие в равенстве, находим

где

![* delim{[}{{K prime}_{n1} (z, xi) chi_{n1} + {K prime}_{m1} (z, xi) chi_{m1} h_B}{]}. * delim{[}{{K prime}_{n1} (z, xi) chi_{n1} + {K prime}_{m1} (z, xi) chi_{m1} h_B}{]}.](../img/math_976.5_d749d4cf89d2ac9e9f9fa6b0fcbf16f7.png)
Приближенно можно считать коэффициенты χz, χn и χm одинаковыми для обеих оболочек, полагая r1 равным среднему радиусу резьбы.
Напрвление силовых факторов показано на (рис. 3). Отметим, что моменты m1 и m2 направлены одинаково.

Увеличение зазора в резьбе в результате прогиба наружной оболочки

Суммарный прогиб витков представим в таком виде:


где

Удлинение внутренней оболочки находим по формуле
![Delta_1 (z) = int{0}{L}{1/E_1 delim{[}{sigma_{z1} (xi) - nu_1 sigma_{theta 1} (xi)}{]} d xi} , Delta_1 (z) = int{0}{L}{1/E_1 delim{[}{sigma_{z1} (xi) - nu_1 sigma_{theta 1} (xi)}{]} d xi} ,](../img/math_952.5_09ecccf390207d42b68f8d2ea8148bb3.png)
где σz1 и σθ1 - осевое и окружное напряжения в срединной поверхности оболочки

где r10 и h1 - срединный радиус и толщина оболочки.
Окружное напряжение

С учетом последних соотношений

Для наружной оболочки подобным образом находим

Интегральное уравнение относительно неизвестного давления боковой поверхности витков:


где постоянные



Проинтегрировав уравнения в пределах от 0 до L, определив из полученного равенства величину С и внеся ее в уравнение, получаем интегральное уравнение в окончательной форме

где интегральный оператор
![K (p) = B/A delim{[}{int{0}{z}{~} int{0}{xi}{p (xi_1) d xi_1 d xi} - 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{~} int{0}{xi}{p (xi_1) d xi_1 d xi}}{]} - K (p) = B/A delim{[}{int{0}{z}{~} int{0}{xi}{p (xi_1) d xi_1 d xi} - 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{~} int{0}{xi}{p (xi_1) d xi_1 d xi}}{]} -](../img/math_926.5_0f07d404f176bcc51b2966962be7bc14.png)
![- 1/A delim{[}{int{0}{L}{G(z, xi) p (xi) d xi} - 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{G(z, xi) p (xi) d xi d z}}{]} - - 1/A delim{[}{int{0}{L}{G(z, xi) p (xi) d xi} - 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{G(z, xi) p (xi) d xi d z}}{]} -](../img/math_956.5_9981d1a73e2854e5356b5890af664d10.png)

![delim{}{- 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{~} int{0}{xi}{H (z, xi_1) p (xi_1) d xi_1 d xi d z}}{]} delim{}{- 1/L int{0}{L}{~} int{0}{z}{~} int{0}{xi}{H (z, xi_1) p (xi_1) d xi_1 d xi d z}}{]}](../img/math_926.5_16b5a10c9f71b9a5737210ac8d908c8c.png)
и среднее давление
